题目内容
【题目】如图，公园内有一块边长为
的正三角形
空地，拟改建成花园，并在其中建一直道
方便花园管理. 设
分别在
上，且均分三角形的面积.
（1）设
（
），
，试将
表示为
的函数关系式；
（2）若是灌溉水管，为节约成本，希望其最短，的位置应在哪里？若是参观路线，希望其最长，的位置应在哪里？
【答案】（1）
；（2）当取
且
时，
最短；当
与
重合且
为
中点，或与
重合且为
中点时，最长
【解析】
（1）根据均分三角形
的面积可得
，即得
，再由余弦定理可得表达式；（2）令
，设
，用定义讨论函数单调性，求得
的最大值和最小值，再由（1）中得到的关系式，可得的最大值和最小值.
（1）
均分三角形的面积，
，
，即
，
在
中，由余弦定理得
，
因为
，所以
解得
，
故
关于
的函数关系式为.
（2）由（1），令
，则
，且.设.
若
，则
，
所以
在
上是减函数. 同理可得在
上是增函数.
于是当
即
时，代入解得：
，此时，且，
当
或
即
或
时，代入解得：
，此时为或上的中线.
故当取，且时，最短；
当与重合且为中点，或与重合且为中点时，最长.
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【题目】下表数据为某地区某种农产品的年产量x(单位:吨)及对应销售价格y(单位:千元/吨) ．
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y | 70 | 65 | 55 | 38 | 22 |
（1）若y与x有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程．
（2）若该农产品每吨的成本为13.1千元，假设该农产品可全部卖出，利用上问所求的回归方程，预测当年产量为多少吨时，年利润Z最大?
（参考公式：回归直线方程为
，
，
）
【题目】为了更好地规划进货的数量，保证蔬菜的新鲜程度，某蔬菜商店从某一年的销售数据中，随机抽取了8组数据作为研究对象，如右下表所示（
（吨）为买进蔬菜的质量，
（天）为销售天数）：
（Ⅰ） 根据右表提供的数据在网格中绘制散点图，并判断与是否线性相关，若线性相关，用最小二乘法求出关于的线性回归方程
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 9 | 12 |
| 1 | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 |
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的计算结果，若该蔬菜商店准备一次性买进蔬菜25吨，则预计需要销售多少天.
参考公式：
，
