Question

【题目】数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0.

(1)求数列的通项公式；

(2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.

Answer 1

【答案】（1）an＝10－2n；（2）.

【解析】试题分析：（1）首先判断数列{an}为等差数列，由a1=8，a4=2求出公差，代入通项公式即得．
（2）首先判断哪几项为非负数，哪些是负数，从而得出当n>5时，Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a5-（a6+a7+…+an）求出结果；当n≤5时，Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an当，再利用等差数列的前n项和公式求出答案．

试题解析：

(1)an＋2－2an＋1＋an＝0，

所以an＋2－an＋1＝an＋1－an，

所以{an＋1－an}为常数列，

所以{an}是以a1为首项的等差数列.

设an＝a1＋(n－1)d，

则a4＝a1＋3d，

所以d＝＝－2，

所以an＝10－2n.

(2)因为an＝10－2n，

令an＝0，得n＝5.

当n＞5时，an＜0；

当n＝5时，an＝0；

当n＜5时，an＞0.

令Tn＝a1＋a2＋…＋an，则Tn＝－n2＋9n.

所以当n＞5时，

Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|

＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)

＝T5－(Tn－T5)＝2T5－Tn＝n2－9n＋40，

当n≤5时，

Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|

＝a1＋a2＋…＋an＝Tn＝9n－n2.

所以