题目内容
(本小题满分12分)
设椭圆:,抛物线:.
(1) 若经过的两个焦点,求的离心率;
(2) 设,又为与不在轴上的两个交点,若的垂心为,且的重心在上,求椭圆和抛物线的方程.
设椭圆:,抛物线:.
(1) 若经过的两个焦点,求的离心率;
(2) 设,又为与不在轴上的两个交点,若的垂心为,且的重心在上,求椭圆和抛物线的方程.
(1)(2)椭圆的方程为:,抛物线的方程为:.
(1)因为抛物线经过椭圆的两个焦点,可得:,
由得椭圆的离心率.
(2)由题设可知关于轴对称,设,
则由的垂心为,有,
所以 ①
由于点在上,故有 ②
②式代入①式并化简得:,解得或(舍去),
所以,故,
所以的重心为,
因为重心在上得:,所以,,
又因为在上,所以,得.
所以椭圆的方程为:,
抛物线的方程为:.
由得椭圆的离心率.
(2)由题设可知关于轴对称,设,
则由的垂心为,有,
所以 ①
由于点在上,故有 ②
②式代入①式并化简得:,解得或(舍去),
所以,故,
所以的重心为,
因为重心在上得:,所以,,
又因为在上,所以,得.
所以椭圆的方程为:,
抛物线的方程为:.
练习册系列答案
相关题目