题目内容
【题目】已知各项均为正数的无穷数列的前
项和为
,且满足
(其中
为常数),
.数列
满足
.
(1)证明数列是等差数列,并求出
的通项公式;
(2)若无穷等比数列满足:对任意的
,数列
中总存在两个不同的项
,
使得
,求
的公比
.
【答案】(1) ;(2)
.
【解析】试题分析:(1)仿写式子,两式相减得到,利用等差数列的定义和通项公式进行求解;(2)构造数列,利用递减数列得到取值范围,利用数列是特殊的函数,利用导数研究其单调性,利用
确定公比的取值.
试题解析:(1)方法一:因为①,
所以②,
由②-①得,
,
即
,又
,
则,即
.
在中令
得,
,即
.
综上,对任意,都有
,
故数列是以
为公差的等差数列.
又,则
.
方法二:因为,所以
,又
,
则数列是以
为首项,
为公差的等差数列,
因此,即
.
当时,
,又
也符合上式,
故.
故对任意,都有
,即数列
是以
为公差的等差数列.
(2)令,则数列
是递减数列,所以
.
考察函数,因为
,所以
在
上递增,因此
,从而
.
因为对任意,总存在数列
中的两个不同项
,
,使得
,所以对任意的
都有
,明显
.
若,当
时,
有,不符合题意,舍去;
若,当
时,
有
,不符合题意,舍去;
故.
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