Question

14．设偶函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=-$\frac{1}{f（x-3）}$，且当x∈[-3，-2]时，f（x）=4x，则f（119.5）=$\frac{1}{10}$．

Answer 1

分析 先根据条件求出函数的周期，然后根据周期进行化简得f（119.5）=f（-0.5），再根据奇偶性和条件将-0.5转化到区间[-3，-2]上，代入解析式可求出所求．

解答 解：∵偶函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=-$\frac{1}{f（x-3）}$，且当x∈[-3，-2]时，f（x）=4x，
∴f（x+3）=-$\frac{1}{f（x）}$，∴f（x+6）=f（x），
即函数f（x）的周期为6，
∴f（119.5）=f（20×6-0.5）=f（-0.5）=-$\frac{1}{f（-0.5+3）}$=-$\frac{1}{f（2.5）}$，
又∵偶函数f（x），当x∈[-3，-2]时，有f（x）=4x，
∴f（119.5）=-$\frac{1}{f（2.5）}$=-$\frac{1}{f（-2.5）}$=-$\frac{1}{4×（-2.5）}$=$\frac{1}{10}$．
故答案为：$\frac{1}{10}$．

点评 本题主要考查了函数的奇偶性和周期性，要特别利用好题中有f（x）=-$\frac{1}{f（x-3）}$的关系式．在解题过程中，条件f（x+a）=-$\frac{1}{f（x）}$通常是告诉我们函数的周期为2a．属于中档题．