题目内容

AB为抛物线y=x2上的动弦,且|AB|=a(a为常数且a≥1),求弦AB的中点M离x轴的最近距离.
最近距离为(2a-1).
如图所示,设A、M、B点的纵坐标分别为y1、y2、y3,A、M、B三点在抛物线上的射影分别为A′、M′、B′.由抛物线的定义,
|AF|=|AA′|=y1+
|BF|=|BB′|=y3+
∴y1=|AF|-,y3=|BF|-.

又M是线段AB的中点,∴y2=(y1+y3)=(|AF|+|BF|-)≥×(|AB|-)=(2a-1),
等号成立的条件是A、F、B三点共线,即AB为焦点弦.
∴最近距离为(2a-1).
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