题目内容

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，
PA⊥底面ABCD，PA=AD=DC=
1
2
AB=1，M是PB的中点．
（1）求证：CM∥平面PAD；
（2）求证：BC⊥平面PAC．
（1）取PA中点N，连MN，DN
∵MN是△PAB的中位线，所以MN平行且等于
1
2
AB…（1分）
又∵DC平行且等于
1
2
AB，∴MN平行且等于DC…（2分）
∴四边形MNDC是平形四边形…（3分）
∴CM∥ND…（4分）
又∵ND?平面PAD，CM?平面PAD，∴CM∥平面PAD…（6分）
（2）取AB中点H，则四边形ADCH为正方形
∴BC2=CH2+HB2=2…（7分）
△ADC中，AC2=AD2+CD2=2…（8分）
∵AC2+BC2=4=AB2，∴BC⊥AC…（10分）
∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC…（11分）
又∵PA∩BC=A，∴BC⊥平面PAC…（12分）
练习册系列答案
相关题目
已知四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AD=CD=
6
，∠BAC=60°，E为AC的中点；现将△ACD沿对角线AC折起，使点D在平面ABC上的射影H落在BC上．
（1）求证：AB⊥平面BCD；
（2）求三棱锥D-ABE的体积．
如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥DC，PD=AD=DC=2AB，则异面直线PA与BC所成角的余弦值为（　　）
A．
15
5
B．
10
5
C．-
10
5
D．
10
4
如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B-AC-E的大小；
（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离．
如图，直三棱柱ABC-A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别为A1B1、A1A的中点．
（Ⅰ）求cos＜
BA1
，
CB1
＞的值；
（Ⅱ）求证：BN⊥平面C1MN；
（Ⅲ）求点B1到平面C1MN的距离．
如图，在△ABC中，BD为AC边上的高，BD=1，BC=AD=2，沿BD将△ABD翻折，使得∠ADC=30°，得几何体B-ACD
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BCD；
（Ⅱ）求点D到面ABC的距离．
如图，直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2．
（1）求证：AC⊥平面BB1C1C；
（2）在A1B1上是否存一点P，使得DP与平面BCB1与平面ACB1都平行？证明你的结论．
在长方形AA1B1B中，AB=2AA1，C，C1分别AB，A1B1是的中点（如图1）．将此长方形沿CC1对折，使平面AA1C1C⊥平面CC1B1B（如图2），已知D，E分别是A1B1，CC1的中点．
（1）求证：C1D∥平面A1BE；
（2）求证：平面A1BE⊥平面AA1B1B．
直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=BB1=1，AB1=
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（1）求证：平面AB1C⊥平面B1CB；
（2）求三棱锥A1-AB1C的体积．

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