题目内容
【题目】已知数列
满足
，其中
， 
.
（1）求
， 
， 
，并猜想
的表达式（不必写出证明过程）；
（2）设
，数列
的前
项和为
，求证： 
.
（B）已知数列
的前
项和为
，且满足
， 
.
（1）求
， 
， 
， 
，并猜想
的表达式（不必写出证明过程）；
（2）设
， 
，求
的最大值.
【答案】（A）（1）详见解析;（2）详见解析. （B）（1）详见解析;（2）
.
【解析】试题分析:（A）（1）利用
的递推关系得到
，从而求得
，由此猜想
.（2）将
的表达式代入
，求得
，用裂项求和法求得前
项和
.（B）利用
，和
的递推关系，可求得
的值，由此猜想
.（2）利用
，可求得
的通项公式，代入
并化简，利用基本不等式可求得其最大值.
试题解析：
（A）解（1）由题意， 
， 
， 
，
则
， 
， 
，
猜想得： 
.
（2）由（1）得
，
则
.
（B）解（1）
，
由
，得
，
同理可得
， 
，
猜想： 
.
（2）由（1），
时， 
，
当
时， 
满足止式，
所以
，
则
， 
，
设
，则有
在
上为减函数，在
上为增函数，
因为
，且
，
所以当
或
时， 
有最大值
.
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三个班共有学生100人，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获取了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）.
| 6 |
| 7 | |
| 6 | 7 | 8 | |
| 5 | 6 | 7 | 8 |
（1）试估计
班学生人数；
（2）从
班和
班抽出来的学生中各选一名，记班选出的学生为甲，班选出的学生为乙，求甲的锻炼时间大于乙的锻炼时间的概率.
