题目内容
【题目】已知函数(
为常数,
是自然对数的底数),曲线
在点
处的切线方程是
.
(1)求的值;(2)求
的单调区间;
(3)设(其中
为
的导函数)。证明:对任意
,
【答案】(1);(2)
单调递增区间是
,单调递减区间是
;(3)见解析.
【解析】【试题分析】(1)依据题设导数的几何意义建立方程分析求解;(2)依据导数与函数的单调性之间的关系分析求解;(3)先将不等式进行等价转化,再借助导数分析推证:
(1)由得
.由已知得
,解得
.又
,即
,
.
(2)由(1)得,令
,
当时,
;当
时,
,又
当
时,
;
当时,
,
的单调递增区间是
,
的单调递减区间是
(3)由已知有,于是对任意
等价于
,由(2)知
,
,易得,当
时,
,即
单调递增;当
时,
,即
单调递减.
的最大值为
,故
.设
则
,因此,当
,
单调递增,
,故当
时,
,即
.
.
对任意
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