Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴两个端点为，且四边形是边长为2的正方形．

（1）求椭圆的方程；

（2）若分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连结，交椭圆于点，证明：为定值；

（3）在（2）的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在，.

【解析】

试题分析：（1）由题意知，，，由此可知椭圆方程为；（2）设，则直线：，代入椭圆方程，得，然后利用根与系数的关系能够推导出为定值；（3）设存在满足条件，则，直线的斜率，直线的斜率，再由，由此可知存在满足条件．

试题解析：（1），∴椭圆方程为：．

（2）∵，∴设，则直线的方程为：，

，

解设：或（舍去），

，∴，从而，

∴．

（3）设，若以为直径的圆过与的交点即直线，

直线的斜率，直线的斜率，

所以，即，

∴，即．