题目内容
【题目】已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),c=(-1,0).
(1) 求向量b+c的模的最大值;
(2) 若α=,且a⊥(b+c),求cos β的值.
【答案】(1)2(2)见解析
【解析】试题分析(1)根据向量加法坐标表示以及向量模的坐标表示可得|b+c|2=2(1-cos β),再根据三角函数有界性可得模的最值(2)由向量垂直可得数量积为零,根据向量数量积坐标表示可得关于β的方程,解得β值 ,即得cos β的值.
试题解析:解:(1) b+c=(cos β-1,sin β),则|b+c|2=(cos β-1)2+sin2β=2(1-cos β).
∵ -1≤cos β≤1,
∴ 0≤|b+c|2≤4,即0≤|b+c|≤2.
当cos β=-1时,|b+c|取最大值2,
∴ 向量b+c的模的最大值为2.
(2) ∵ b+c=(cos β-1,sin β),
∴ a·(b+c)=cos αcos β-cos α+sin αsin β
=cos(α-β)-cos α.
∵ a⊥(b+c),
∴ a·(b+c)=0,即cos(α-β)=cos α.
又α=,∴ cos
=cos
,β-
=2kπ±
(k∈Z),
∴ β=2kπ+或β=2kπ,k∈Z,
∴ cos β=0或cos β=1.

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