已知向量$\overrightarrow{m}$=.$\overrightarrow{n}$=(sinx.2cos2x).令f(x)=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$．的单调递增区间,图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位后.得到函数y=g=$\frac{\sqrt{2}}{3}$+1.α为第一象限.求sin2α� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2cosx，1），$\overrightarrow{n}$=（sinx，2cos²x），令f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位后，得到函数y=g（x）的图象，若g（α）=$\frac{\sqrt{2}}{3}$+1，α为第一象限，求sin2α的值．

分析（1）根据两向量的坐标，求得函数的解析式，进而利用二倍角公式和两角和公式化简整理求得函数的解析式，利用正弦函数的单调性求得函数的单调区间．
（2）利用平移规律：“左加右减”，确定出f（x）平移后的解析式g（x），根据g（α）的值列出关系式，整理后得出sin（2α-$\frac{π}{4}$）的值，由α为第一象限角，得出2α-$\frac{π}{4}$的范围，再根据sin（2α-$\frac{π}{4}$）的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（2α-$\frac{π}{4}$）的值，将所求式子中的角2α变形为（2α-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将各自的值代入即可求出值．

解答解：（1）f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=2sinxcosx+2cos²x
=sin2x+cos2x+1
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1
当2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，即kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$（k∈Z）
∴函数的单调递增区间为[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]（k∈Z）．
（2）∵将函数y=f（x）图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位后，得到函数y=g（x）=$\sqrt{2}$sin[2（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]+1=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+1，
∴$\sqrt{2}$sin（2α-$\frac{π}{4}$）+1=$\frac{\sqrt{2}}{3}$+1，解得：sin（2α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{3}$，
∵α为第一象限，
∴2α-$\frac{π}{4}$∈（4kπ-$\frac{π}{4}$，4kπ+$\frac{3π}{4}$），k∈Z，
又0＜sin（2α-$\frac{π}{4}$）＜$\frac{1}{3}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$知，
∴2α-$\frac{π}{4}$∈（4kπ，4kπ+$\frac{π}{2}$），k∈Z，
∴cos（2α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sin2α=sin[（2α-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]=sin（2α-$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$+cos（2α-$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}（\frac{1}{3}+\frac{2\sqrt{2}}{3}）$=$\frac{\sqrt{2}+4}{6}$．

点评此题考查了数量积的坐标表达式、二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，三角函数图象的变换，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键．