Question

【题目】设，分别是椭圆的左，右焦点，两点分别是椭圆的上，下顶点，是等腰直角三角形，延长交椭圆于点，且的周长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设点是椭圆上异于的动点，直线与直分别相交于两点，点，试问：的外接圆是否恒过轴上的定点（异于点）？若是，求该定点坐标；若否，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是，

【解析】

（1）利用椭圆的定义可得，结合是等腰直角三角形，可求椭圆的方程；

（2）设出直线方程，表示出的坐标，求出圆心，利用半径相等可得定点坐标.

（1）∵的周长为，由定义可知，，，

∴，∴，

又∵是等腰直角三角形，且，∴，

∴椭圆的方程为；

（2）设，则，

∴直线与的斜率之积为，

设直线的斜率为，则直线，，

由，可得，同理，

假设的外接圆恒过定点了，

则其圆心，

又

∴，

∴解得，

∴的外接圆恒过轴定点.