Question

18．已知函数$f（x）=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}$的定义域为[-3，3]．
（1）判断函数f（x）的单调性，并用定义给出证明；
（2）若实数m满足f（m-1）＜f（1-2m），求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）在[-3，3]上单调递增，结合指数函数的性质及增函数的定义，可证得结论；
（2）结合（1）中函数的单调性和定义域，可将原不等式化为：$\left\{{\begin{array}{l}{-3≤m-1≤3}\\{-3≤1-2m≤3}\\{m-1＜1-2m}\end{array}}\right.$，解得答案．

解答 解：（1）函数f（x）在[-3，3]上单调递增；            …（2分）
下面证明：设x₁，x₂是[-3，3]上的任意两个值，且x₁＜x₂，
则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{{2^{x_1}}-1}}{{{2^{x_1}}+1}}-\frac{{{2^{x_2}}-1}}{{{2^{x_2}}+1}}=（1-\frac{2}{{{2^{x_1}}+1}}）-（1-\frac{2}{{{2^{x_2}}+1}}）=\frac{{2（{2^{x_1}}-{2^{x_2}}）}}{{（{2^{x_1}}+1）（{2^{x_2}}+1）}}$…（6分）
因为-3≤x₁＜x₂≤3，
所以${2^{x_1}}-{2^{x_2}}＜0，又{2^{x_1}}+1＞0，{2^{x_2}}+1＞0$，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在[-3，3]上是单调增函数．  …（10分）
（2）由（1）知f（x）在[-3，3]上为增函数
∴f（m-1）＜f（1-2m）等价于：$\left\{{\begin{array}{l}{-3≤m-1≤3}\\{-3≤1-2m≤3}\\{m-1＜1-2m}\end{array}}\right.$，…（14分）
∴$m∈[{-1，\frac{2}{3}}）$
即解集为$[{-1，\frac{2}{3}}）$…（16分）

点评 本题考查的知识点是函数单调性的判断，证明，与应用，是函数单调性的综合应用，难度中档．