题目内容
(本题满分13分) 如图,是离心率为
的椭圆,
:
(
)的左、右焦点,直线
:
将线段
分成两段,其长度之比为1 : 3.设
是
上的两个动点,线段
的中点
在直线
上,线段
的中垂线与
交于
两点.
(Ⅰ) 求椭圆C的方程;
(Ⅱ) 是否存在点,使以
为直径的圆经过点
,若存在,求出
点坐标,若不存在,请说明理由.
(Ⅰ) (Ⅱ)存在两点
符合条件,坐标为
,理由见解析
解析试题分析:(Ⅰ) 设,则
=
,所以
=1.
因为离心率e=,所以
=
.
所以椭圆C的方程为. ……5分
(Ⅱ) 当直线垂直于
轴时,直线
方程为
=-
,
此时(
,0)、
(
,0) ,
.不合题意; ……7分
当直线不垂直于
轴时,设存在点
(-
,
) (
≠0),直线
的斜率为
,
.
由 得
=0,则
,
故.此时,直线
斜率为
,
的直线方程为
.
即.
联立 消去
,整理得
.
所以,
. ……10分
由题意0,于是
=0.
因为在椭圆内,
符合条件;
综上,存在两点符合条件,坐标为
. ……13分
考点:本小题主要考查椭圆标准方程的求法和直线与椭圆位置关系的判断和应用以及向量数量积的应用,考查学生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力.
点评:设直线方程时,要考虑到直线方程斜率是否存在;对于探究性问题,可以先假设存在,再进行计算,如果能求出来,就说明存

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