题目内容

【题目】已知椭圆x轴负半轴交于,离心率.

1)求椭圆C的方程;

2)设直线与椭圆C交于两点,连接AM,AN并延长交直线x=4两点,若,直线MN是否恒过定点,如果是,请求出定点坐标,如果不是,请说明理由.

【答案】(1)(2)直线恒过定点,详见解析

【解析】

1)依题意由椭圆的简单性质可求出,即得椭圆C的方程;

2)设直线的方程为:,联立直线的方程与椭圆方程可求得点的坐标,同理可求出点的坐标,根据的坐标可求出直线的方程,将其化简成点斜式,即可求出定点坐标.

1)由题有.,∴.∴椭圆方程为.

2)设直线的方程为:,则

,∴,同理

时,由.,同理,又

时,∴直线的方程为

∴直线恒过定点,当时,此时也过定点..

综上:直线恒过定点.

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