题目内容
【题目】已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6
，试判别△MF1F2的形状．
【答案】（1）
； （2）钝角三角形.
【解析】
(1)设双曲线方程为
，由题得
且c=
，解方程组即得双曲线的标准方程.(2) 不妨设M点在右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2
，求得|MF1|＝4，|MF2|＝2，|F1F2|＝2，再利用余弦定理判定△MF1F2为钝角三角形．
(1)椭圆方程可化为
，焦点在x轴上，且c＝
，
故设双曲线方程为，
则有解得a2＝3，b2＝2.
所以双曲线的标准方程为.
(2)不妨设M点在右支上，
则有|MF1|－|MF2|＝2 ，
又|MF1|＋|MF2|＝6，
故解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，
又|F1F2|＝2，
因此在△MF1F2中，|MF1|边最长，而
cos ∠MF2F1＝
，
所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2为钝角三角形．
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