Question

【题目】已知函数f(x)＝，若存在x∈，使得f(x)<2，则实数a的取值范围是________．

Answer 1

【答案】(－1,5)

【解析】

由题意f(x)<2可得－2<x3－ax<2，得到x2－<a<x2＋，即

分别判断不等式左右两边函数的单调性，求得最值，解不等式得到a的范围.

解法1 当x∈[1,2]时，f(x)<2，等价于|x3－ax|<2，即－2<x3－ax<2，即x3－2<ax<x3＋2，得到x2－<a<x2＋，即，

设，因此在单调递增，，

设，因此在单调递增，，

得到－1<a<5.

解法2 原问题可转化为先求：对任意x∈[1,2]，使得f(x)≥2时，实数a的取值范围．

则有x|x2－a|≥2，即|a－x2|≥.

（1）当a≥4时，a≥x2＋≥22＋＝5，得到a≥5.

（2）当a≤1时，x2－a≥，有a≤x2－≤1－＝－1，得到a≤－1.

（3）当1<a<4时，|a－x2|≥0，与>0矛盾．

那么有a≤－1或a≥5，故原题答案为－1<a<5.

对于存在性问题，可以直接转化为相应函数的最值问题，也可以参数和变量分离后再转化为函数的最值问题(如解法1)；也可以转化为命题的否定即恒成立问题来处理(如解法2)．