题目内容
【题目】已知函数.
(1)若是单调递增函数,求实数a的取值范围;
(2)若恒成立,求实数a的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)求出函数的导数,问题转化为,根据函数的单调性求出
的范围即可;
(2)令(
),问题等价于
.求导数,判断
的单调性,求最值即可.
(1)定义域,
,
因为是单调递增函数,故
对
恒成立,
即对
恒成立.
记,则
,
由,令
得
,
当时,
,当
时,
,
故在
单调递减,在
单调递增,
所以,
从而.
(2)令(
),问题等价于
.
由,
,
∴函数在
上是增函数,
容易证明时,
,
,
则,
由得,
(舍负)
从而取,
;
另外,容易证明,取正数x满足
从而取c满足,有
.
(注:这里也可以这样处理:当时,
,
,
故;
当时,
,
,
)
所以存在唯一的,使得
,当
时,
;
当时,
;
从而在区间
上递减,在
上递增,
,
由,得:
,
∴,
∴,即
.
设,则
为增函数,
,
,则
有唯一零点,设为t,
则,则
,即
,
令,则
单调递增,且
,
则,即
,
∵在
为增函数,
则当时,a有最大值,
,
∴,即a的取值范围是
.
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