题目内容
【题目】已知函数(
).
(Ⅰ)若曲线在点
处的切线与直线
垂直,求
的值与曲线在点
处的切线方程;
(Ⅱ)若,且当
时,
恒成立,求
的最大值.(
)
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】试题分析:(Ⅰ)求导,利用导数的几何意义和两直线垂直的判定求出值,进而利用点斜式方程进行求解;(Ⅱ)分离参数,合理构造函数,将问题转化为求函数的最值问题,再利用导数研究函数的单调性和最值.
试题解析:(Ⅰ)因为,所以
,
.
又曲线在点
处的切线与直线
垂直,故
,解得
,
所以,
.
所以曲线在点
处的切线方程为
,即
.
(Ⅱ)当时,
恒成立等价于
恒成立,等价于当
时,
恒成立.
设(
),则
,记
,
则,所以
在
上单调递增.
又,
,
所以在
上存在唯一的实数根
,使得
,①
因此当时,
,即
,则
在
上单调递减;
当时,
,即
,则
在
上单调递增.
所以当时,
,由①可得
,
所以.
因为,
,又
,
,
所以,因此
,
又,所以
.
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