题目内容

【题目】已知函数).

(Ⅰ)若曲线在点处的切线与直线垂直,求的值与曲线在点处的切线方程;

(Ⅱ)若,且当时, 恒成立,求的最大值.(

【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)

【解析】试题分析:(Ⅰ)求导,利用导数的几何意义和两直线垂直的判定求出值,进而利用点斜式方程进行求解;(Ⅱ)分离参数,合理构造函数,将问题转化为求函数的最值问题,再利用导数研究函数的单调性和最值.

试题解析:(Ⅰ)因为,所以

又曲线在点处的切线与直线垂直,故,解得

所以

所以曲线在点处的切线方程为,即

(Ⅱ)当时, 恒成立等价于恒成立,等价于当时, 恒成立.

),则,记

,所以上单调递增.

所以上存在唯一的实数根,使得,①

因此当时, ,即,则上单调递减;

时, ,即,则上单调递增.

所以当时, ,由①可得

所以

因为 ,又

所以,因此

,所以

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