Question

【题目】已知函数f（x）=xcosx﹣sinx，x∈[0， ]
（1）求证：f（x）≤0；
（2）若a＜ ＜b对x∈（0， ）上恒成立，求a的最大值与b的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=xcosx﹣sinx得

f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，

此在区间∈（0， ）上f′（x）=﹣xsinx＜0，

所以f（x）在区间∈[0， ]上单调递减，

从而f（x）≤f（0）=0

（2）解：当x＞0时，“ ＞a”等价于“sinx﹣ax＞0”，“ ＜b”等价于“sinx﹣bx＜0”

令g（x）=sinx﹣cx，则g′（x）=cosx﹣c，

当c≤0时，g（x）＞0对x∈（0， ）上恒成立，

当c≥1时，因为对任意x∈（0， ），g′（x）=cosx﹣c＜0，

所以g（x）在区间[0， ]上单调递减，

从而，g（x）＜g（0）=0对任意x∈（0， ）恒成立，

当0＜c＜1时，存在唯一的x0∈（0， ）使得g′（x0）=cosx0﹣c=0，

g（x）与g′（x）在区间（0， ）上的情况如下：

x	（0，x0）	x0	（x0， ）
g′（x）	+		﹣
g（x）	↑		↓

因为g（x）在区间（0，x0）上是增函数，

所以g（x0）＞g（0）=0进一步g（x）＞0对任意x∈（0， ）恒成立，

当且仅当

综上所述当且仅当 时，g（x）＞0对任意x∈（0， ）恒成立，

当且仅当c≥1时，g（x）＜0对任意x∈（0， ）恒成立，

所以若a＜ ＜b对x∈（0， ）上恒成立，则a的最大值为 ，b的最小值为1

【解析】（1）求出f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，判定出在区间∈（0， ）上f′（x）=﹣xsinx＜0，得f（x）在区间∈[0， ]上单调递减，从而f（x）≤f（0）=0．（2）当x＞0时，“ ＞a”等价于“sinx﹣ax＞0”，“ ＜b”等价于“sinx﹣bx＜0”构造函数g（x）=sinx﹣cx，通过求函数的导数讨论参数c求出函数的最值，进一步求出a，b的最值．
【考点精析】掌握函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本，需要知道求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．