题目内容
【题目】已知数列
的前n项和
．
若三角形的三边长分别为
，
，
，求此三角形的面积；
探究数列中是否存在相邻的三项，同时满足以下两个条件：
此三项可作为三角形三边的长；
此三项构成的三角形最大角是最小角的2倍
若存在，找出这样的三项，若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
数列
的前n项和
求出
，
，遂得出三角形三边边长，利用余弦定理求解三角形的面积
假设数列存在相邻的三项满足条件，因为，设三角形三边长分别是n，
，
，
，三个角分别是
，
，
，利用正弦定理，余弦定理，验证此三角形的最大角是最小角的2倍,然后推出结果．
解：数列的前n项和
．
当
时，
，
当
时，
，
又时，
，所以，
不妨设
三边长为
，
，
，
所以
所以
假设数列存在相邻的三项满足条件，因为，
设三角形三边长分别是n，，，，三个角分别是，，
由正弦定理：
，所以
由余弦定理：
，
即
化简得：
，所以：
或
舍去
当时，三角形的三边长分别是4，5，6，可以验证此三角形的最大角是最小角的2倍．
所以数列中存在相邻的三项4，5，6，满足条件.
【题目】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立．
（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：
年入流量X | 40＜X＜80 | 80≤X≤120 | X＞120 |
发电机最多可运行台数 | 1 | 2 | 3 |
若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
