题目内容
(本小题满分12分)
已知点列、、…、(n∈N)顺次为一次函数图像上的点,点列、、…、(n∈N)顺次为x轴正半轴上的点,其中(0<a<1),对于任意n∈N,点、、构成一个顶角的顶点为的等腰三角形。
(1)数列的通项公式,并证明是等差数列;
(2)证明为常数,并求出数列的通项公式;
(3)上述等腰三角形中,是否存在直角三角形?若有,求出此时a值;若不存在,请说明理由。
已知点列、、…、(n∈N)顺次为一次函数图像上的点,点列、、…、(n∈N)顺次为x轴正半轴上的点,其中(0<a<1),对于任意n∈N,点、、构成一个顶角的顶点为的等腰三角形。
(1)数列的通项公式,并证明是等差数列;
(2)证明为常数,并求出数列的通项公式;
(3)上述等腰三角形中,是否存在直角三角形?若有,求出此时a值;若不存在,请说明理由。
(1)(nÎN),证明见解析
(2)证明见解析,
(3)存在直角三形,此时a的值为、、.
(2)证明见解析,
(3)存在直角三形,此时a的值为、、.
(1)(nÎN),∵yn+1-yn=,∴{yn}为等差数列 ………………4分
(2)因为与为等腰三角形.
所以,两式相减得。………………7分
注:判断得2分,证明得1分
∴x1,x3,x5,…,x2n-1及x2,x4,x6 ,…,x2n都是公差为2的等差数列,………………6分
∴ ………………10分
(3)要使AnBnAn+1为直角三形,则 |AnAn+1|=2=2()Þxn+1-xn=2()
当n为奇数时,xn+1=n+1-a,xn=n+a-1,∴xn+1-xn=2(1-a).
Þ2(1-a)=2() Þa=(n为奇数,0<a<1) (*)
取n=1,得a=,取n=3,得a=,若n≥5,则(*)无解; ………………14分
当偶数时,xn+1=n+a,xn=n-a,∴xn+1-xn=2a.
∴2a=2()Þa=(n为偶数,0<a<1) (*¢),
取n=2,得a=,若n≥4,则(*¢)无解.
综上可知,存在直角三形,此时a的值为、、. ………………18分
(2)因为与为等腰三角形.
所以,两式相减得。………………7分
注:判断得2分,证明得1分
∴x1,x3,x5,…,x2n-1及x2,x4,x6 ,…,x2n都是公差为2的等差数列,………………6分
∴ ………………10分
(3)要使AnBnAn+1为直角三形,则 |AnAn+1|=2=2()Þxn+1-xn=2()
当n为奇数时,xn+1=n+1-a,xn=n+a-1,∴xn+1-xn=2(1-a).
Þ2(1-a)=2() Þa=(n为奇数,0<a<1) (*)
取n=1,得a=,取n=3,得a=,若n≥5,则(*)无解; ………………14分
当偶数时,xn+1=n+a,xn=n-a,∴xn+1-xn=2a.
∴2a=2()Þa=(n为偶数,0<a<1) (*¢),
取n=2,得a=,若n≥4,则(*¢)无解.
综上可知,存在直角三形,此时a的值为、、. ………………18分
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