题目内容
【题目】已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，点A到x轴的距离等于|AF|﹣1．
（1）求抛物线C的方程；
（2）直线AF与C交于另一点B，抛物线C分别在点A，B处的切线交于点P，D为y轴正半轴上一点，直线AD与C交于另一点E，且有|FA|=|FD|，N是线段AE的靠近点A的四等分点．
（i）证明点P在△NAB的外接圆上；
（ii）△NAB的外接圆周长是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）解：过A作AM⊥x轴，垂足为M，设抛物线的准线方程为：y=﹣ 
，
∴AF=AM+ ，
∴ =1，即p=2．
∴抛物线C的方程为：x2=4y．
（2）解：（i）设A（x1， 
），B（x2， 
），
∵A，B，F（0，1）三点共线，∴ 
，∴x1x2=﹣4，
由x2=4y得y= 
，
∴切线AP的方程为：y﹣ = 
（x﹣x1），
切线BP的方程为：y﹣ = 
（x﹣x2），
联立方程组可得P（ ﹣ 
，﹣1），
∴ 
=（ 
， +1）， 
=（﹣ ﹣ ， 
+1），
∴ 
=（ ）（﹣ ﹣ ）+（ +1）（ +1）=0，
∴∠BPA=90°．
∵|FD|=|FA|= +1，∴D（0， +2），
设E（x3， 
），由A，D，E三点共线得： 
，
∴x3=﹣x1﹣ 
，
∵N是AE的靠近A的四等分点，
∴N（﹣ + ， 
+1），
∴ 
=（ + ，﹣ ﹣1）， 
=（﹣ ﹣ ，﹣ ﹣1）．
∴ 
=（ + ）（﹣ ﹣ ）+（﹣ ﹣1）（﹣ ﹣1）=0，
∴∠BNA=90°，
∴A，B，P，N四点共圆，
∴P在△ABN的外接圆上．
（ii）由（i）可知|AB|为△ABN的外接圆直径．
∵|AB|= 
+2= 
≥2| || |+2=4．
当且仅当| |=| |即x1=±1时，取等号．
∴当x1=1或﹣1时，△ABN的外接圆周长最小，最小周长为4π．
【解析】（1）利用抛物线的性质可知 =1，从而得出抛物线方程；（2）（i）设A（x1， ），B（x2， ），E（x3， ），由三点共线可得x2，x3与x1的关系，求出P，N的坐标，利用向量证明AP⊥BP，AN⊥BN，从而可得A，B，P，N四点共圆；
（ii）利用基本不等式求出外接圆的直径|AB|的最小值即可得出周长的最小值．
