题目内容
【题目】已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,点A到x轴的距离等于|AF|﹣1.
(1)求抛物线C的方程;
(2)直线AF与C交于另一点B,抛物线C分别在点A,B处的切线交于点P,D为y轴正半轴上一点,直线AD与C交于另一点E,且有|FA|=|FD|,N是线段AE的靠近点A的四等分点.
(i)证明点P在△NAB的外接圆上;
(ii)△NAB的外接圆周长是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)解:过A作AM⊥x轴,垂足为M,设抛物线的准线方程为:y=﹣ ,
∴AF=AM+ ,
∴ =1,即p=2.
∴抛物线C的方程为:x2=4y.
(2)解:(i)设A(x1, ),B(x2,
),
∵A,B,F(0,1)三点共线,∴ ,∴x1x2=﹣4,
由x2=4y得y= ,
∴切线AP的方程为:y﹣ =
(x﹣x1),
切线BP的方程为:y﹣ =
(x﹣x2),
联立方程组可得P( ﹣
,﹣1),
∴ =(
,
+1),
=(﹣
﹣
,
+1),
∴ =(
)(﹣
﹣
)+(
+1)(
+1)=0,
∴∠BPA=90°.
∵|FD|=|FA|= +1,∴D(0,
+2),
设E(x3, ),由A,D,E三点共线得:
,
∴x3=﹣x1﹣ ,
∵N是AE的靠近A的四等分点,
∴N(﹣ +
,
+1),
∴ =(
+
,﹣
﹣1),
=(﹣
﹣
,﹣
﹣1).
∴ =(
+
)(﹣
﹣
)+(﹣
﹣1)(﹣
﹣1)=0,
∴∠BNA=90°,
∴A,B,P,N四点共圆,
∴P在△ABN的外接圆上.
(ii)由(i)可知|AB|为△ABN的外接圆直径.
∵|AB|= +2=
≥2|
||
|+2=4.
当且仅当| |=|
|即x1=±1时,取等号.
∴当x1=1或﹣1时,△ABN的外接圆周长最小,最小周长为4π.
【解析】(1)利用抛物线的性质可知 =1,从而得出抛物线方程;(2)(i)设A(x1,
),B(x2,
),E(x3,
),由三点共线可得x2,x3与x1的关系,求出P,N的坐标,利用向量证明AP⊥BP,AN⊥BN,从而可得A,B,P,N四点共圆;
(ii)利用基本不等式求出外接圆的直径|AB|的最小值即可得出周长的最小值.
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