题目内容
【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD.中,PC⊥底面ABCD,ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2.E是PB的中点. (Ⅰ)求证;平面EAC⊥平面PBC;
(Ⅱ)若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为 ,求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.
【答案】解:(I)证明:∵PC⊥平面ABCD,AC平面ABCD,∴AC⊥PC,
∵AB=2,AD=CD=2,∴AC=BC= ,
∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC,
又BC∩PC=C,∴AC⊥平面PBC,
∵AC平面EAC,∴平面EAC⊥平面PBC.
( II)解:如图,以C为原点, 、
、
分别为x轴、y轴、z轴正向,建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,﹣1,0).
设P(0,0,a)(a>0),则E( ,﹣
,
),
=(1,1,0),
=(0,0,a),
=(
,﹣
,
),
取 =(1,﹣1,0),则
=
=0,
为面PAC的法向量.
设 =(x,y,z)为面EAC的法向量,则
=
=0,
即 取x=a,y=﹣a,z=﹣2,则
=(a,﹣a,﹣2),
依题意,|cos< ,
>|=
=
=
,则a=1.
于是 =(1,﹣1,﹣2),
=(1,1,﹣1).
设直线PA与平面EAC所成角为θ,
则sinθ=|cos< ,
>|=
=
=
,
即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为 .
【解析】(I)通过证明AC⊥平面PBC,利用平面与平面垂直的判定定理证明平面EAC⊥平面PBC.( II)如图,以C为原点, 、
、
分别为x轴、y轴、z轴正向,建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标,设P(0,0,a)(a>0),求出面PAC的法向量
=(1,﹣1,0),设
=(x,y,z)为面EAC的法向量,利用
=
=0,求出
=(a,﹣a,﹣2),利用向量的数量积求解,即可得到直线PA与平面EAC所成角的正弦值.
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