Question

【题目】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （θ为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）写出曲线C的极坐标方程；
（2）设点M的极坐标为（ ），过点M的直线l与曲线C相交于A，B两点，若|MA|=2|MB|，求AB的弦长．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵曲线C的参数方程为 （θ为参数）．

∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4y=0，

∴曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ=0，

即曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ．

（2）解：设直线l的参数方程是 （θ为参数）①

曲线C的直角坐标方程是x2+y2﹣4y=0，②

①②联立，得t2+2（cosθ﹣sinθ）t﹣2=0，

∴t1t2=﹣2，且|MA|=2|NB|，∴t1=﹣2t2，

则t1=2，t2=﹣1或t1=﹣2，t2=1，

∴|AB的弦长AB|=|t1﹣t2|=3．

【解析】（1）由曲线C的参数方程先求出曲线C的直角坐标方程，由此能求出曲线C的极坐标方程．（2）先求出直线l的参数方程，与曲线C的直角坐标方程联立，得t2+2（cosθ﹣sinθ）t﹣2=0，由此能求出AB的弦长．