题目内容
【题目】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (θ为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)写出曲线C的极坐标方程;
(2)设点M的极坐标为( ),过点M的直线l与曲线C相交于A,B两点,若|MA|=2|MB|,求AB的弦长.
【答案】
(1)解:∵曲线C的参数方程为 (θ为参数).
∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4y=0,
∴曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ=0,
即曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ.
(2)解:设直线l的参数方程是 (θ为参数)①
曲线C的直角坐标方程是x2+y2﹣4y=0,②
①②联立,得t2+2(cosθ﹣sinθ)t﹣2=0,
∴t1t2=﹣2,且|MA|=2|NB|,∴t1=﹣2t2,
则t1=2,t2=﹣1或t1=﹣2,t2=1,
∴|AB的弦长AB|=|t1﹣t2|=3.
【解析】(1)由曲线C的参数方程先求出曲线C的直角坐标方程,由此能求出曲线C的极坐标方程.(2)先求出直线l的参数方程,与曲线C的直角坐标方程联立,得t2+2(cosθ﹣sinθ)t﹣2=0,由此能求出AB的弦长.
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