题目内容
【题目】已知椭圆 的右焦点为F(2,0),M为椭圆的上顶点,O为坐标原点,且△MOF是等腰直角三角形.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为k1 , k2 , 且k1+k2=8,证明:直线AB过定点( ).
【答案】(Ⅰ)解:由△MOF是等腰直角三角形,得c2=b2=4,a2=8,
故椭圆方程为: =1.
(Ⅱ)证明:(i)若直线AB的斜率存在,设AB的方程为:y=kx+m,依题意得m≠±2,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由 ,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣8=0,
则 .
由已知 k1+k2=8,可得 ,
所以 ,即
.
所以 ,整理得
.
故直线AB的方程为 ,即y=k(
)﹣2.
所以直线AB过定点( ).
(ii)若直线AB的斜率不存在,设AB方程为x=x0,
设A(x0,y0),B(x0,﹣y0),
由已知 ,得
.
此时AB方程为 ,显然过点(
).
综上,直线AB过定点( ).
【解析】(Ⅰ)由△MOF是等腰直角三角形,得c2=b2=4,再根据a2=b2+c2可求得a;(Ⅱ)分情况讨论:(1)当直线AB的斜率存在时,设AB的方程为:y=kx+m,联立直线AB方程与椭圆方程消掉y得x的二次方程,由韦达定理及k1+k2=8可得关于k,m的关系式,消m代入直线AB方程可求得定点坐标;(2)若直线AB的斜率不存在,设AB方程为x=x0,由已知可求得AB方程,易验证其过定点;
【考点精析】关于本题考查的椭圆的标准方程,需要了解椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:
才能得出正确答案.
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