Question

3．数列{a_n}，{b_n}满足a_n+1=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{a}_{n}+{b}_{n}}$，b_n+1=$\frac{{{b}_{n}}^{2}}{{a}_{n}+{b}_{n}}$，a₁=3，b₁=1．
（1）令C_n=a_n-b_n，求数列{C_n}的通项公式；
（2）记数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：S_n＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）通过a_n+1=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{a}_{n}+{b}_{n}}$与b_n+1=$\frac{{{b}_{n}}^{2}}{{a}_{n}+{b}_{n}}$作差可知a_n+1-b_n+1=a_n-b_n，进而可得结论；
（2）通过（1）可知a_n-b_n=2，进而b_n+1=$\frac{{{b}_{n}}^{2}}{2+{2b}_{n}}$，通过计算可知b_n+1＜$\frac{1}{3}$•b_n，计算即得结论．

解答 （1）解：∵a_n+1=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{a}_{n}+{b}_{n}}$，b_n+1=$\frac{{{b}_{n}}^{2}}{{a}_{n}+{b}_{n}}$，
∴a_n+1-b_n+1=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{a}_{n}+{b}_{n}}$-$\frac{{{b}_{n}}^{2}}{{a}_{n}+{b}_{n}}$
=$\frac{（{a}_{n}-{b}_{n}）（{a}_{n}+{b}_{n}）}{{a}_{n}+{b}_{n}}$
=a_n-b_n，
即C_n+1=C_n，
又∵C₁=a₁-b₁=3-1=2，
∴C_n=2；
（2）证明：由（1）可知a_n-b_n=2，
∵b_n+1=$\frac{{{b}_{n}}^{2}}{{a}_{n}+{b}_{n}}$=$\frac{{{b}_{n}}^{2}}{2+{2b}_{n}}$，
∴b₂=$\frac{1}{4}$，b₃=$\frac{1}{40}$，b₄=$\frac{1}{3280}$，
∴b_n+1＜$\frac{1}{3}$•b_n，
∴S_n＜1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$=$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{3}^{n-1}}$＜$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查数列的通项及求和，注意解题方法的积累，属于中档题．