Question

9．椭圆ax²+by²=1与直线y=1-x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$\frac{b}{a}$值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{9\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{27}$

Answer 1

分析 把y=1-x代入椭圆ax²+by²=1得ax²+b（1-x）²=1，由根与系数的关系可以推出线段AB的中点坐标为（ $\frac{b}{a+b}$，$\frac{a}{a+b}$），再由过原点与线段AB中点的直线的斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，能够导出 $\frac{b}{a}$的值．

解答 解：把y=1-x代入椭圆ax²+by²=1得ax²+b（1-x）²=1，
整理得（a+b）x²-2bx+b-1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{2b}{a+b}$，y₁+y₂=2-$\frac{2b}{a+b}$，
∴线段AB的中点坐标为（ $\frac{b}{a+b}$，$\frac{a}{a+b}$），
∴过原点与线段AB中点的直线的斜率k=$\frac{\frac{a}{a+b}}{\frac{b}{a+b}}$=$\frac{a}{b}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的性质及其应用，解题时要注意公式的灵活运用．考查转化思想的应用．