如图.在正方体ABCD-A1B1C1D1中.直线B1B与平面A1C1D所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

19．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直线B₁B与平面A₁C₁D所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

分析由题意，直线B₁B与平面A₁C₁D所成角等于直线D₁D与平面A₁C₁D所成角α，利用等体积法求出D₁到平面A₁C₁D的距离，即可求出直线B₁B与平面A₁C₁D所成角的余弦值．

解答解：由题意，直线B₁B与平面A₁C₁D所成角等于直线D₁D与平面A₁C₁D所成角α．
设正方体的棱长为1，D₁到平面A₁C₁D的距离为h，则由等体积可得$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×2×h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$，
∴h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴sinα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴cosα=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评本题考查直线B₁B与平面A₁C₁D所成角的余弦值，考查学生的计算能力，求出D₁到平面A₁C₁D的距离是关键．

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19．已知向量$\overrightarrow m$=$（{cosx，cos（{x+\frac{π}{6}}）}），\overrightarrow n$=$（{\sqrt{3}sinx$+cosx，2sinx}），且满足f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$．
（Ⅰ）求函数f（x）的对称轴方程；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位得到g（x）的图象，当x∈[0，π]时，求函数g（x）的单调递增区间．

如图，三棱柱 ABC-A₁B₁C₁ 中，AA₁⊥平面 A₁B₁C₁，AB=AC=AA₁=2，AB⊥AC，D 为 AC 中点，点 E 在棱 CC₁C上，且 AE⊥平面 A₁B₁D．
（Ⅰ）求 CE 的长；
（Ⅱ）求三棱锥 E-A₁BD 的体积．

已知点P（1，3），Q（1，2）．设过点P的动直线与抛物线y=x²交于A，B两点，直线AQ，BQ与该抛物线的另一交点分别为C，D．记直线AB，CD的斜率分
别为k₁，k₂．
（Ⅰ）当k₁=0时，求弦AB的长；
（Ⅱ）当k₁≠2时，$\frac{{k}_{2}-2}{{k}_{1}-2}$是否为定值？若是，求出该定值．

14．已知函数f（x）=alnx^x+bx，（x∈（0，+∞）的图象过点（$\frac{1}{e}$，-$\frac{1}{e}$），且在点（1，f（1））处的切线与直线x+y-e=0垂直．
（1）求a，b的值．
（2）若存在x₀∈[$\frac{1}{e}$，e]（e为自然对数的底数，且e=2.71828…），使得不等式f（x₀）=$\frac{1}{2}$x₀²-$\frac{1}{2}$tx₀≥-$\frac{3}{2}$成立，求实数t的取值范围；
（3）设函数f（x）的图象上从左至右依次存在三个点B（b，f（b）），C（c，f（c）），D（d，f（d）），且2c=b+d，求证：f（b）+f（d）-2f（c）＜（d-b）ln2．

4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且经过点（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设Q（2，0），过点（-1，0）的直线l交C于M，N两点，△QMN的面积记为S，若对满足条件的任意直线l，不等式S≤λtan∠MQN恒成立，求λ的最小值．

11．设椭圆C的中心在原点，左，右焦点分别为F₁，F₂，过F1垂直x轴的直线与椭圆相交于A，B两点，|AB|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，且△F₂AB的周长为4$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过圆D：x²+y²=4上任一点P作椭圆C的两条切线m，n，直线m，n与圆D的另一交点分别为M，N．
①证明：m⊥n；
②求△MNP面积的最大值．

8．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）

9．若存在直线l与曲线C₁和曲线C₂都相切，则称曲线C₁和曲线C₂为“相关曲线”，有下列三个命题：①有且只有两条直线l使得曲线C₁：x²+y²=4和曲线C₂：x²+y²-4x+2y+4=0为“相关曲线”；②曲线C₁：4y²-x²=1和曲线C₂：x²-4y²=1是“相关曲线”；③曲线C₁：y=lnx和曲线C₂：y=x²-x为“相关曲线”．其中正确命题的个数为（　　）