题目内容

19.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线B1B与平面A1C1D所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$.
 

分析 由题意,直线B1B与平面A1C1D所成角等于直线D1D与平面A1C1D所成角α,利用等体积法求出D1到平面A1C1D的距离,即可求出直线B1B与平面A1C1D所成角的余弦值.

解答 解:由题意,直线B1B与平面A1C1D所成角等于直线D1D与平面A1C1D所成角α.
设正方体的棱长为1,D1到平面A1C1D的距离为h,则由等体积可得$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×2×h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$,
∴h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴sinα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴cosα=$\frac{\sqrt{6}}{3}$.
故答案为:$\frac{\sqrt{6}}{3}$.

点评 本题考查直线B1B与平面A1C1D所成角的余弦值,考查学生的计算能力,求出D1到平面A1C1D的距离是关键.

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