Question

9．若存在直线l与曲线C₁和曲线C₂都相切，则称曲线C₁和曲线C₂为“相关曲线”，有下列三个命题：①有且只有两条直线l使得曲线C₁：x²+y²=4和曲线C₂：x²+y²-4x+2y+4=0为“相关曲线”；②曲线C₁：4y²-x²=1和曲线C₂：x²-4y²=1是“相关曲线”；③曲线C₁：y=lnx和曲线C₂：y=x²-x为“相关曲线”．其中正确命题的个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 ①两条曲线都是圆，只需研究两圆的位置关系即可；
②容易判断，两条曲线是共轭双曲线（在x轴上方的部分），易知没有公切线；
③先利用导数求出C₁的切线，然后代入曲线C₂，利用判别式等于零求解．

解答 解：①易知；C₁：是以（0，0）为圆心，r=2的圆；C₂：是以（2，-1）为圆心，r=1的圆，圆心距=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$，大于半径之差1，小于半径之和3，故两圆相交，因此有两条外公切线，故①正确；
②易知，曲线C₁，C₂是共轭双曲线，因此两曲线没有公切线，故②错误；
③C₁：y=lnx，求得x=1时，切线方程为y=x-1；对于C₂：当x=1时，切线方程2为y=x-1，故正确．
故选：C．

点评 本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、切线方程的求法，同时，作为新定义问题，要注意对“概念”的理解．