题目内容

【题目】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB= =AC=2,E,F分别为A1C1 , BC的中点.
(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1
(2)求证:C1F∥平面ABE.

【答案】
(1)证明:在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,BB1⊥底面ABC,

∴BB1⊥AB,∵

∴AB⊥BC,

∵BC∩BB1=B,∴AB⊥平面B1BCC1

又AB平面ABE,

∴平面ABE⊥平面B1BCC1


(2)证明:取AB的中点G,连接EG,FG,

∵E,F分别是A1C1,BC的中点,

,∵ ,∴

∴FGEC1为平行四边形,∴C1F∥EG,

又EG平面ABE,C1F平面ABE,

∴C1F∥平面ABE.


【解析】(1)运用直三棱柱侧棱垂直于底面,以及勾股定理的逆定理,由线面垂直的判定定理可得AB⊥平面B1BCC1 , 再由面面垂直的判定定理即可得证;(2)取AB的中点G,连接EG,FG,运用平行四边形的判定和性质,结合线面平行的判定定理,即可得证.
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识,掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行,以及对平面与平面垂直的判定的理解,了解一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.

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