Question

【题目】已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（﹣x2+ax﹣3）ex（其中a实数，e是自然对数的底数）．
（1）当a=5时，求函数y=g（x）在点（1，e）处的切线方程；
（2）求f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（3）若存在x1 ， x2∈[e﹣1 ， e]（x1≠x2），使方程g（x）=2exf（x）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=5时，g（x）=（﹣x2+5x﹣3）ex，

g′（x）=（﹣x2+3x+2）ex，

故切线的斜率为g′（1）=4e，且g（1）=e，

所以切线方程为：y﹣e=4e（x﹣1），即4ex﹣y﹣3e=0．

（2）解：f′（x）=lnx+1，

令f′（x）=0，得x= ，

①当t 时，在区间（t，t+2）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，

所以f（x）min=f（t）=tlnt，

②当0＜t＜ 时，在区间（t， ）上f′（x）＜0，f（x）为减函数，

在区间（ ，e）上f′（x）＞0，f（x）为增函数，

所以f（x）min=f（ ）=﹣ ；

（3）解：由g（x）=2exf（x）可得2xlnx=﹣x2+ax﹣3

a=x+2lnx+ ，

令h（x）═x+2lnx+ ，h′（x）=1+ ﹣ =

x	（ ，1）	1	（1，e）
h′（x）	﹣	0	+
h（x）	单调递减	极小值（最小值）	单调递增

h（ ）= +3e﹣2，h（1）=4，h（e）= +e+2，

h（e）﹣h（ ）=4﹣2e+ ＜0

则实数a的取值范围为（4，e+2+ ]

【解析】（1）写出当a=5时g（x）的表达式，求出导数，求得切线的斜率和切点，再由点斜式方程，即可得到切线方程；（2）求出f（x）的导数，求出极值点，讨论①当t 时，②当0＜t＜ 时，函数f（x）的单调性，即可得到最小值；（3） 由g（x）=2exf（x）可得2xlnx=﹣x2+ax﹣3，得到a=x+2lnx+ ，令h（x）═x+2lnx+ ，求出导数，列表求出极值，求出端点的函数值，即可得到所求范围．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的最大(小)值与导数(求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值)．