Question

11．已知tanA，tanB是方程mx²-2$\sqrt{7m-3}$x+2m=0的两个实数根，求：tan（A+B）的最值及取得最值时的实数m的值．

Answer 1

分析 由△≥0求得m的范围，再利用韦达定理、两角和的正切公式求得tan（A+B）的解析式，从而求得tan（A+B）的最值及取得最值时的实数m的值．

解答 解：由tanA，tanB是方程mx²-2$\sqrt{7m-3}$x+2m=0的两个实数根，
可得m≠0，且△=4（7m-3）-8m²≥0，
求得$\frac{1}{2}$≤m≤3．
 再利用韦达定理可得 tanA+tanB=2$\sqrt{7m-3}$，tanA•tanB=2，
∴tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanA•tanB}$=$\frac{2\sqrt{7m-3}}{1-2}$=-2$\sqrt{7m-3}$，
故当m=3时，tan（A+B）取得最小值为-6$\sqrt{2}$；
当m=$\frac{1}{2}$时，tan（A+B）取得最大值为-$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查二次函数的性质，两角和的正切公式的应用，属于基础题．