Question

【题目】已知函数 f（x）=x﹣ln x﹣2．
（Ⅰ）求函数 f （ x） 的最小值；
（Ⅱ）如果不等式 x ln x+（1﹣k）x+k＞0（k∈Z）在区间（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．

Answer 1

【答案】【解答】（I）x∈（0，+∞），f′（x）=1﹣ = ，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．∴当x=1时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（1）=1﹣0﹣2=﹣1．

（II）不等式 x ln x+（1﹣k）x+k＞0（k∈Z）在区间（1，+∞）上恒成立k＜ （x＞1）．

令g（x）= （x＞1）．g′（x）= ，由于x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，∴函数f（x）单调递增．

∵f（1）=﹣1＜0，∴函数f（x）只有一个零点x0，x0﹣lnx0﹣2=0．

又f（3）=1﹣ln3＜0，f（4）=2﹣ln4＞0，∴x0∈（3，4）．

当x∈（1，x0）时，f（x0）＜0，∴g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，f（x0）＞0，∴g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．∴g（x）min=g（x0）= = =x0∈（3，4），

∴kmax=3．

【解析】（I）x∈（0，+∞），,利用导数研究其单调性即可得出当x=1时，函数f（x）取得极小值即最小值；
（II）不等式 x ln x+（1﹣k）x+k＞0（k∈Z）在区间（1，+∞）上恒成立k＜ （x＞1）．令g（x）= （x＞1）,利用导数研究其单调性极值即可求出。