Question

【题目】设函数f（x）=cos（2x+ ）+2cos2x，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）将函数f（x）的图象向右平移 个单位长度后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间 上的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=cos（2x+ ）+2cos2x=cos2xcos -sin2xsin +cos2x+1

= cos2x- sin2x+1=cos（2x+ ）+1，

故函数的最小正周期为T= =π，

令2kπ+π≤2x+ ≤2kπ+2π，求得kπ+ ≤x≤kπ+ ，求得函数的增区间为[kπ+ ，kπ+ ]，k∈Z．

（2）将函数f（x）的图象向右平移 个单位长度后得到函数g（x）=cos[2（x - ）+ ]+1

=cos（2x - + ）+1=cos（2x- ）+1的图象，

由x∈[0， ]，可得：2x- ∈[ ， ]，

可得：cos（2x - ）∈[ ，1]，

解得：g（x）=cos（2x- ）+1∈[ ，2]．

【解析】（1）对函数f（x）进行简单的三角恒等变换，结合辅助角公式可得出f（x）=cos（2x+ ）+1,根据余弦函数的图象及其性质得出函数的增区间，（2）对f（x）经过平移得到g（x）的函数解析式，在区间内讨论得到g（x）的值域.
【考点精析】掌握函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换是解答本题的根本，需要知道图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．