Question

【题目】已知A （1，2），B（a，1），C（2，3），D（﹣1，b）（a，b∈R）是复平面上的四个点，且向量 ， 对应的复数分别为z1 ， z2 ． （Ⅰ）若z1+z2=1+i，求z1 ， z2
（Ⅱ）若|z1+z2|=2，z1﹣z2为实数，求a，b的值．

Answer 1

【答案】解：（I）向量 =（a﹣1，﹣1）， =（﹣3，b﹣3）对应的复数分别为z1=（a﹣1）﹣i，z2=﹣3+（b﹣3）i．

∴z1+z2=（a﹣4）+（b﹣4）i=1+i．

∴a﹣4=1，b﹣4=1．

解得a=b=5．

∴z1=4﹣i，z2=﹣3+2i．

（II）|z1+z2|=2，z1﹣z2为实数，

∴ =2，（a+2）+（2﹣b）i∈R，

∴2﹣b=0，解得b=2，

∴（a﹣4）2+4=4，解得a=4．

∴a=4，b=2．

【解析】（I）向量 =（a﹣1，﹣1）， =（﹣3，b﹣3）对应的复数分别为z1=（a﹣1）﹣i，z2=﹣3+（b﹣3）i．利用z1+z2=（a﹣4）+（b﹣4）i=1+i．即可得出a，b．（II）|z1+z2|=2，z1﹣z2为实数，可得 =2，（a+2）+（2﹣b）i∈R，即可得出．