题目内容

5.设a1,a2,…,an∈R,n≥3.若p:a1,a2,…,an成等比数列;q:(a12+a22+…+an-12)(a22+a32+…+an2)=(a1a2+a2a3+…+an-1an2,则(  )
A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件
B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件
C.p是q的充分必要条件
D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件

分析 运用柯西不等式,可得:(a12+a22+…+an-12)(a22+a32+…+an2)≥(a1a2+a2a3+…+an-1an2,讨论等号成立的条件,结合等比数列的定义和充分必要条件的定义,即可得到.

解答 解:由a1,a2,…,an∈R,n≥3.
运用柯西不等式,可得:
(a12+a22+…+an-12)(a22+a32+…+an2)≥(a1a2+a2a3+…+an-1an2
若a1,a2,…,an成等比数列,即有$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=…=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$,
则(a12+a22+…+an-12)(a22+a32+…+an2)=(a1a2+a2a3+…+an-1an2
即由p推得q,
但由q推不到p,比如a1=a2=a3=…=an=0,则a1,a2,…,an不成等比数列.
故p是q的充分不必要条件.
故选:A.

点评 本题考查充分必要条件的判断,同时考查等比数列的定义,注意运用定义法和柯西不等式解题是关键.

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