题目内容
16.已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3,(Ⅰ)求抛物线E的方程;
(Ⅱ)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.
分析 解法一:(I)由抛物线定义可得:|AF|=2+$\frac{p}{2}$=3,解得p.即可得出抛物线E的方程.
(II)由点A(2,m)在抛物线E上,解得m,不妨取A$(2,2\sqrt{2})$,F(1,0),可得直线AF的方程,与抛物线方程联立化为2x2-5x+2=0,解得B$(\frac{1}{2},-\sqrt{2})$.又G(-1,0),计算kGA,kGB,可得kGA+kGB=0,∠AGF=∠BGF,即可证明以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.
解法二:(I)同解法一.
(II)由点A(2,m)在抛物线E上,解得m,不妨取A$(2,2\sqrt{2})$,F(1,0),可得直线AF的方程,与抛物线方程联立化为2x2-5x+2=0,解得B$(\frac{1}{2},-\sqrt{2})$.又G(-1,0),可得直线GA,GB的方程,利用点到直线的距离公式可得:点F(1,0)到直线GA、GB的距离,若相等即可证明此以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.
解答 解法一:(I)由抛物线定义可得:|AF|=2+$\frac{p}{2}$=3,解得p=2.
∴抛物线E的方程为y2=4x;
(II)证明:∵点A(2,m)在抛物线E上,
∴m2=4×2,解得m=$±2\sqrt{2}$,不妨取A$(2,2\sqrt{2})$,F(1,0),
∴直线AF的方程:y=2$\sqrt{2}$(x-1),
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2\sqrt{2}(x-1)}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$,化为2x2-5x+2=0,解得x=2或$\frac{1}{2}$,B$(\frac{1}{2},-\sqrt{2})$.
又G(-1,0),∴kGA=$\frac{2\sqrt{2}-0}{2-(-1)}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$.kGB=$\frac{-\sqrt{2}-0}{\frac{1}{2}-(-1)}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$,
∴kGA+kGB=0,
∴∠AGF=∠BGF,∴x轴平分∠AGB,
因此点F到直线GA,GB的距离相等,
∴以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.
解法二:(I)同解法一.
(II)证明:点A(2,m)在抛物线E上,∴m2=4×2,解得m=$±2\sqrt{2}$,不妨取A$(2,2\sqrt{2})$,F(1,0),
∴直线AF的方程:y=2$\sqrt{2}$(x-1),
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2\sqrt{2}(x-1)}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$,化为2x2-5x+2=0,解得x=2或$\frac{1}{2}$,B$(\frac{1}{2},-\sqrt{2})$.
又G(-1,0),可得直线GA,GB的方程分别为:$2\sqrt{2}$x-3y+2$\sqrt{2}$=0,$2\sqrt{2}x+3y+2\sqrt{2}$=0,
点F(1,0)到直线GA的距离d=$\frac{|2\sqrt{2}+2\sqrt{2}|}{\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}+{3}^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{17}}$,
同理可得点F(1,0)到直线GB的距离=$\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{17}}$.
因此以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.
点评 本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质、点到直线的距离公式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想,属于难题.
A. | $\frac{12}{5}$ | B. | -$\frac{12}{5}$ | C. | $\frac{5}{12}$ | D. | -$\frac{5}{12}$ |
A. | y=$\sqrt{x}$ | B. | y=|sinx| | C. | y=cosx | D. | y=ex-e-x |
A. | p是q的充分条件,但不是q的必要条件 | |
B. | p是q的必要条件,但不是q的充分条件 | |
C. | p是q的充分必要条件 | |
D. | p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件 |