题目内容
【题目】如图，矩形
所在的平面垂直于平面
，
为
的中点，
，
，
，
.
（1）求异面直线
与
所成角的余弦值；
（2）求二面角
的正弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）建立空间直角坐标系，根据
即可求解异面直线所成角的余弦值；
（2）分别求出两个半平面的法向量，利用法向量的夹角求得二面角的余弦值，再求出正弦值.
矩形
所在的平面垂直于平面
，
为
的中点，在平面内过作的垂线交
于
，根据面面垂直的性质可得
平面，
同理在平面内过作的垂线交
于
，根据面面垂直的性质可得
平面，所以
两两互相垂直，
如图所示，建立空间直角坐标系，
因为
，所以
，
易得
，
（1）由上述点坐标可知，，所以直线
与
所成角的余弦值
；
（2）因为
，设平面
的法向量为
，则
解得
，取
，可得
，
设平面
的法向量为
，则
解得
，取
，可得
，
设二面角
的平面角为
，则
，
所以
.
练习册系列答案
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【题目】追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（AQI）的检测数据，结果统计如表：
AQI |
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空气质量 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 重度污染 |
天数 | 6 | 14 | 18 | 27 | 25 | 10 |
（1）从空气质量指数属于[0，50]，（50，100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；
（2）已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x的关系式为
，假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为
.9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替.
（i）记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X元，求X的分布列；
（ii）试问该企业7月、8月、9月这三个月因气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万元？说明你的理由.
