题目内容
【题目】已知双曲线的两个焦点为
、
,P为该双曲线上一点,满足
,P到坐标原点O的距离为d,且
,则
________.
【答案】4或9
【解析】
求得双曲线的b,c,设P为右支上一点,|PF1|=m,|PF2|=n,运用双曲线的定义,结合条件,由两点的距离公式,解不等式可得a的正整数解.
双曲线1的b=2,c2=a2+4,
设P为右支上一点,|PF1|=m,|PF2|=n,
由双曲线的定义可得m﹣n=2a,
由题意可得4c2=mn,
又由三角形中线与边的关系可得:2 m2+2n2=(2c)2+(2d)2,
即m2+n2=2c2+2d2,
可得(m﹣n)2+2mn=4a2+8c2=2c2+2d2
又d2∈(25,81),
即25<5a2+12<81,
由a为正整数,可得a2=4或9,
故答案为:4或9.
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