Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知椭圆，设是椭圆上任一点，从原点向圆作两条切线，切点分别为．

（1）若直线互相垂直，且点在第一象限内，求点的坐标；

（2）若直线的斜率都存在，并记为，求证：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）由直线互相垂直，且与圆相切，可得，再由在椭圆上，满足椭圆方程，求得点的坐标；（2）运用直线和圆相切的条件：，结合二次方程的韦达定理和点满足椭圆方程，化简整理，即可得证．

试题解析：（1）由题意得：圆的半径为，因为直线互相垂直，且与圆相切，所以四边形为正方形，故，即①

又在椭圆上，所以②

由①②及在第一象限，解得，所以点.

（2）证明：因为直线，均与圆相切，所以，化简得.同理有，所以是方程的两个不相等的实数根，所以，又因为在椭圆上，所以，即，所以，即.