题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面
为矩形,
是等边三角形,
是直角三角形,
为
中点.
(1)求证:;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析 (2)
【解析】
(1)取的中点
,根据等边三角形性质得
,根据矩形性质得
,最好根据线面垂直判定定理与性质定理得结果;
(2)法一:建立空间直角坐标系,利用向量数量积求各面方向量 ,再根据二面角与法向量夹角关系求结果;法二:取的中点
,证明
为二面角
的平面角,再根据解三角形得结果.
(1)取的中点
,连接
,
在等边三角形中,
;
在矩形中,
,则
.
∵,∴
平面
.
∵平面
,∴
.
(2)法一:设,则
,
∵且点
为
的中点,(三线合一)
∴为等腰直角三角形且
.
∵,∴
.
∴两两垂直
以为原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴,
建立空间直角坐标系,
则,
.
设平面的一个法向量为的
,由
得
令得
.
(注:也可证明为平面
的一个法向量)
设平面的一个法向量为
,由
得
令得
.
.
由图知,二面角为钝角,则二面角
的余弦值为
.
(2)法二:
设,则
,
∵且点
为
的中点,(三线合一)
∴为等腰直角三角形,∴
,
∴为等腰三角形,
取的中点
,连接
,∵
,∴
.
在等边三角形中,连接
,则
,
.
则为二面角
的平面角.
连接,在
中,由余弦定理,
.
则二面角的余弦值为
.
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