Question

15．已知复数$z=\frac{{{{（1+i）}^2}+2（5-i）}}{3+i}$，
（1）求|z|；
（2）若z（z+a）=b+i，求实数a，b的值．

Answer 1

分析 （1）化简复数为a+bi的形式，然后求解复数的模．
（2）利用复数的代数形式的混合运算，结合复数相等，列出方程求解a，b即可．

解答 解：（1）$z=\frac{2i+10-2i}{3+i}=\frac{10}{3+i}=\frac{10（3-i）}{10}=3-i$；$|z|=\sqrt{10}$
（2）（3-i）（3-i+a）=（3-i）²+（3-i）a=8+3a-（a+6）i=b+i，
可得$\left\{\begin{array}{l}8+3a=b\\-（a+6）=1\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a=-7\\ b=-13\end{array}\right.$．

点评 本题考查复数的代数形式的混合运算，复数相等条件的应用，考查计算能力．