Question

4．已知函数$f（x）=a+\frac{2}{{{2^x}-1}}$（a∈R）；
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）在区间（0，+∞）的单调性，用定义给出证明；
（3）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数，若存在求出a，不存在说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用分母不为0，函数f（x）的定义域；
（2）函数f（x）在区间（0，+∞）的单调递减，用定义进行证明；
（3）假设存在实数a使函数f（x）为奇函数，由（1）可知函数f（x）的定义域{x|x≠0}关于原点对称，1则对定义域内的任意x有f（-x）=-f（x），即f（-x）+f（x）=0，列出方程，即可求出a．

解答 解：（1）由2^x-1≠0解得x≠0，
所以函数f（x）的定义域为{x|x≠0}…2分
（2）函数f（x）在区间（0，+∞）的单调递减；   …3分
证明如下：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则
$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{2}{{{2^{x_1}}-1}}-\frac{2}{{{2^{x_2}}-1}}$=$\frac{{2（{2^{x_2}}-1）-2（{2^{x_1}}-1）}}{{（{2^{x_1}}-1）（{2^{x_2}}-1）}}$=$\frac{{2（{2^{x_2}}-{2^{x_1}}）}}{{（{2^{x_1}}-1）（{2^{x_2}}-1）}}$，
∵x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，∴$（{2^{x_2}}-1）＞0，（{2^{x_2}}-1）＞0$，${2^{x_2}}-{2^{x_1}}＞0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂），
故函数f（x）在区间（0，+∞）的单调递减．…7分
（3）假设存在实数a使函数f（x）为奇函数，
由（1）可知函数f（x）的定义域{x|x≠0}关于原点对称，
则对定义域内的任意x有f（-x）=-f（x），即f（-x）+f（x）=0
所以$a+\frac{2}{{{2^{-x}}-1}}+a+\frac{2}{{{2^x}-1}}=0$，得2a-2=0解得a=1
所以存在实数a=1使函数f（x）为奇函数．…12分

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性和单调性，其中熟练掌握函数奇偶性和单调性的定义及证明方法是解答的关键．