Question

7．设函数f（x）的定义域为D，若存在定义域[a，b]⊆D，使得函数f（x）在[a，b]上的值域也为[a，b]，则称f（x）为“等域函数”．已知函数f（x）=a^x，（a＞1）为“等域函数”，则实数a的取值范围为（1，${e}^{\frac{1}{e}}$）．

Answer 1

分析 由新定义可得函数f（x）=a^x，（a＞1）的定义域和值域均为[m，n]，即有a^m=m，aⁿ=n，即方程a^x=x有两个不相等的实根，两边取自然对数，转化为函数的图象之间的关系，即可得到所求a的范围．

解答 解：由新定义可得函数f（x）=a^x，（a＞1）的定义域和值域均为[m，n]，
即有a^m=m，aⁿ=n，
即方程a^x=x有两个不相等的实根，
即有lna^x=lnx，
即lna=$\frac{lnx}{x}$有两个不相等的实根．
令g（x）=$\frac{lnx}{x}$，则g（x）的导数为g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
当x＞e时，g′（x）＜0，g（x）递减；
当0＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）递增．
即有x=e取得最大值$\frac{1}{e}$．
则有图象可得0＜lna＜$\frac{1}{e}$．
解得1＜a＜${e}^{\frac{1}{e}}$．
故答案为：（1，${e}^{\frac{1}{e}}$）．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查函数的单调性的运用，以及导数的运用：求单调区间和极值、最值，属于中档题．