Question

12．已知sin（α+$\frac{3π}{4}$）=$\frac{5}{13}$，cos（$\frac{π}{4}$-β）=$\frac{3}{5}$，且-$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$＜β＜$\frac{3π}{4}$，求cos2（α-β）的值．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得cos（α+$\frac{3π}{4}$）和sin（$\frac{π}{4}$-β）的值，再利用两角和差的余弦公式求得cos（α-β） 的值、应用二倍角的余弦公式求得cos2（α-β）的值．

解答 解：∵sin（α+$\frac{3π}{4}$）=$\frac{5}{13}$，cos（$\frac{π}{4}$-β）=$\frac{3}{5}$，且-$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$＜β＜$\frac{3π}{4}$，
∴cos（α+$\frac{3π}{4}$）=-$\frac{12}{13}$，sin（$\frac{π}{4}$-β）=-$\frac{4}{5}$，
∴cos[（α+$\frac{3π}{4}$）+（$\frac{π}{4}$-β）]=cos（π+α-β）=-cos（α-β）=cos（α+$\frac{3π}{4}$）cos（$\frac{π}{4}$-β）-sin（α+$\frac{3π}{4}$）sin（$\frac{π}{4}$-β）
=-$\frac{12}{13}$×$\frac{3}{5}$-$\frac{5}{13}$×（-$\frac{4}{5}$）=-$\frac{16}{65}$，
即cos（α-β）=$\frac{16}{65}$，
∴cos2（α-β）=2cos²（α-β）-1=2×${（\frac{16}{65}）}^{2}$-1=-$\frac{3713}{4225}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式、二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．