Question

17．在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2．
（1）若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF；
（2）求四棱锥P-ABCD的体积V．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABC，∠BAC=60°，可得AC=2AB，PA=CA，又F为PC的中点，可得AF⊥PC．利用线面垂直的判定与性质定理可得：CD⊥PC．利用三角形的中位线定理可得：EF∥CD．于是EF⊥PC．即可证明PC⊥平面AEF．
（2）利用直角三角形的边角关系可得BC，CD．S_ABCD=$\frac{1}{2}AB•BC+\frac{1}{2}AC•CD$．利用V=$\frac{1}{3}{S}_{四边形ABCD}×PA$，即可得出．

解答 （1）证明：在Rt△ABC，∠BAC=60°，
∴AC=2AB，
∵PA=2AB，
∴PA=CA，
又F为PC的中点，
∴AF⊥PC．
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD．
∵AC⊥CD，PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC．
∴CD⊥PC．
∵E为PD中点，F为PC中点，
∴EF∥CD．
则EF⊥PC．
∵AF∩EF=F，
∴PC⊥平面AEF．
（2）解：在Rt△ABC中，AB=1，
∠BAC=60°，
∴BC=$\sqrt{3}$，AC=2．
在Rt△ACD中，AC=2，∠CAD=60°，
∴CD=2$\sqrt{3}$，AD=4．
∴S_ABCD=$\frac{1}{2}AB•BC+\frac{1}{2}AC•CD$=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}+\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=\frac{5}{2}\sqrt{3}$．
则V=$\frac{1}{3}{S}_{四边形ABCD}×PA$=$\frac{1}{3}×\frac{5}{2}\sqrt{3}×2=\frac{5}{3}\sqrt{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质定理、三角形的中位线定理、直角三角形的边角关系、四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．