题目内容
7．已知两个非零向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$和$\overrightarrow{{e}_{2}}$不共线，如果$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{BC}$=6$\overrightarrow{{e}_{1}}$+23$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{CD}$=4$\overrightarrow{{e}_{1}}$-8$\overrightarrow{{e}_{2}}$，求证：A，B，D三点共线．分析 根据向量共线的条件建立等式关系即可得到结论．
解答 证明：∵$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CD}$=6$\overrightarrow{{e}_{1}}$+23$\overrightarrow{{e}_{2}}$+4$\overrightarrow{{e}_{1}}$-8$\overrightarrow{{e}_{2}}$=10$\overrightarrow{{e}_{1}}$+15$\overrightarrow{{e}_{2}}$=5（2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$），
∴$\overrightarrow{BD}$=5$\overrightarrow{AB}$，
即$\overrightarrow{BD}$∥$\overrightarrow{AB}$，
∵BD与AB有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
点评 本题主要考查三点共线的证明，利用向量的运算法则以及向量共线的共线定理是解决本题的关键．
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