题目内容
【题目】如图，三棱柱
的侧棱
垂直于底面
，且
，
，
，
，
是棱
的中点.
（1）证明：
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）由侧棱
垂直于底面
，且
，得可侧面与底面垂直，从而
与侧面
垂直，因此有
，即有
，于是只要证
即可有线面垂直，从而证
，这个在矩形
由相似三角形可得证；
（2）以分别以
，
，
为
，
，
轴建立空间直角坐标系，求出平面
和平面
法向量，有平面法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值（注意确定二面角是锐角还是钝角）．
（1）证明：∵
平面
∴四边形是矩形
∵
为中点，且
∴
∵
，
，
∴
，∴
连接
，
∵
，∴
与
相似
∴
，∴
∴
∵，∴
平面
∴
平面
∵
平面，∴
∴
平面
，∴
．
（2）解∶如图，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，则
，
，
，
，
∴
，
，
，
设平面的法向量为
，则
，
解得：
同理，平面的法向量
设二面角
的大小为
，则
即二面角的余弦值为.
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